n个集合的对称差

周民强老师的《实变函数论》第一章讲集合的内容大部分是高中学过的。其余值得一提的，一个是集合的运算法则，另一个就是对称差。因为我对对称差不太熟悉，所以稍微记一下。（之后部分似乎会用对称差衡量集合差异程度，大多数情况应该只会用两个集合的对称差。）

周书上对对称差的定义如下：

A, B 是两个集合，称 AΔB ≜ (A \ B) ∪ (B \ A) 为 A, B 的对称差。

如果用Venn图来表现，AΔB 就是集合 A ∪ B 剜掉中间重叠区域后留下的部分，即 A 和 B 分别“私人占有”的部分之并。对于对称差的运算性质，周书上列举了一些较为基本的（诸如交换律、结合律，以及和交运算的分配律等），详情可以看原书P7。

对于两个集合的对称差，似乎没什么其他可说的。因此我们考虑集合数量为3个、4个乃至更一般的 n 个时的情况（即 A₁ΔA₂Δ⋯ΔA_n ）。在讨论之前，我们决定把包含于且仅包含于这一集合列中 k 个集合的子集全体之并称为 k − 包含区域 。（也许有更官方的名字？不过我不知道）

首先从集合数目为3个的情况入手，对于集合 AΔBΔC ，不难发现其实质就是 A ∪ B ∪ C 去掉所有 2 − 包含区域 后剩下的集合，也是所有 1 − 包含区域 和 3 − 包含区域 的并。

图 1：三个集合的对称差（由中心的3-包含区域和周边的1-包含区域构成）

那么，来到 n 个集合的对称差 A₁ΔA₂Δ⋯ΔA_n ，用数学归纳法也可以得出类似的发现：

$$ \begin{aligned} A_1 \Delta A_2 \Delta \cdots \Delta A_n = \bigcup_{\text{k为小于等于n的奇数}} \{ \text{k-包含区域} \} \end{aligned} $$

或：

$$ \begin{aligned} A_1 \Delta A_2 \Delta \cdots \Delta A_n = \left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \setminus \left( \bigcup_{\text{k为小于等于n的偶数}} \{ \text{k-包含区域} \} \right) \end{aligned} $$

如果恰好被 k 个集合 A_i 覆盖就代表按了开关 k 次，那么对称差就提取了按了奇数次开关的所有区域（如果这个开关连着一个原本关闭的电灯，那么对称差提取了所有电灯最后开启的开关情况）。

（网页的公式渲染太神秘了，用triangle或是bigtriangleup绘制的三角形都会被渲染成很小的一个，所以这次借用了delta符号表示对称差的三角形。此外，倒数第二个大公式的渲染也有点问题，一开始总是变成顶格的小公式，最后用aligned强行对齐了。）